(προηγούμενο)

 

ιά να μην το παραλείψω, πρίν συνεχίσουμε: δεν σας έδωσα το κατοπτρικό μικρό πεντάγωνο, αλλά (υπολογίζοντας επί χάρτου «με το μάτι») δεν νομίζω ότι σηματοδοτεί τίποτε σημαντικό. Αν έχετε την περιέργεια, φτιάξτε το μόνοι σας. Όχι όλα εγώ, είπαμε!  🙂

 

δ. Κλασματοδιάταξη (fractals) – 1

Ας δούμε, όμως, ακόμη λίγα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πενταγώνου.

Εάν ζωγραφίσουμε όλες τις διαγωνίους του, θα μας βγεί μία πεντάλφα· καθώς κι ένα μικρότερο πεντάγωνο στη μέση, αναποδογυρισμένο.

 

 

Εάν, τώρα, θέλουμε να βρούμε την πλευρά γ του μικρού πενταγώνου, σε σχέση με την πλευρά α του μεγάλου, υπολογίζουμε ως εξής:

 

 

Η διαγώνιος (β+γ+β), όπως αποδείξαμε στην πρώτη συνέχεια του παρόντος, ισούται με 2 * α * cos(36). Ταυτόχρονα, όμως, το κομμάτι γ είναι β/φ, όπου φ = 1.618…, η χρυσή αναλογία. (Δες εδώ.) Οπότε, επιλύοντας ως προς γ, βρίσκουμε: γ = (2 * α * cos(36) ) / (2 + (1/φ) ) / φ.

Παρατηρούμε, όμως, καί το εξής: εάν είναι να ξαναπάρουμε πεντάγωνο με την ίδια κατεύθυνση με το αρχικό, τότε πρέπει να ξανακάνουμε την ίδια διαδικασία (δηλαδή, χάραξη «διαγωνίων», κτλ) στο εσωτερικό μικρό πεντάγωνο. Δηλαδή, έτσι:

 

 

Κι εννοείται, πεντάγωνο στην ίδια κατεύθυνση με το αρχικό, θα παίρνουμε σε ζυγούς αριθμούς επαναλήψεων της κλασματοδιάταξής μας. (Στο σχήμα έχουμε τις πρώτες δύο.)

 

Επειδή, τώρα, στον χάρτη πήραμε μικρό πεντάγωνο στην ίδια γωνιακή κατεύθυνση με το αρχικό, ας δούμε αν έχουμε κλασματοδιάταξη από το αρχικό, ή απλά έτυχε.

Γιά να μή βαρύνουμε με μαθηματικό τύπο μέσα σε μαθηματικό τύπο, δίνουμε κατ’ ευθείαν τις αριθμητικές τιμές, καί παίρνουμε:

 

 

Αυτή είναι η πλευρά γ του μικρού πενταγώνου (μετά από δύο επαναλήψεις της κλασματοδιάταξης), κι έπρεπε να το περιμένουμε (λόγωι της συμμετρίας των σχημάτων μας). Εμείς, βέβαια, επί χάρτου βγάλαμε 273.17 km, που σημαίνει σφάλμα: ( (281.60 – 273.17) * 100 ) / 273.17 (παίρνω τον μικρότερο παρονομαστή, άρα το μεγαλύτερο σφάλμα) = 3.086% . Ειλικρινά, το Γκούγκλ Έρθ είναι ανεκτίμητο εργαλείο· αλλά, γιά να είμαστε σωστοί, κάποιος θά ‘πρεπε να βάλει μόνιμη ταμπέλα ότι το σφάλμα του συγκεκριμένου εργαλείου «ίσον τόσο».

Αλλά, όπως προείπαμε, αν θέλει κάποιος να κάνει πολύ σωστή δουλειά, πρέπει να πλακωθεί στα δικτυωμένα γκουμπιούτερζ με γεωγραφικά συστήματα, στερεομετρία σφαίρας, στρατιωτικούς χάρτες, τζιπιέσια, κτλ κτλ. Εμείς, οι πτωχοί καί πένητες, πορευόμαστε με ό,τι διαθέτουμε!

[Στο κάτω-κάτω, άμα σημαδεύεις με το ποντίκι μιά πόλη σαν τη Νίκαια, τα οκτώ χιλιόμετρα απάνω-κάτω παίζουν αγρίως. Οι πόλεις έχουν έκταση, δεν είναι μαθηματικά σημεία.

Δεν είναι τραγικό. Τραγικό θα ήταν, αν οι αρχαιολόγοι περίμεναν από τους δικούς μου υπολογισμούς εδώ, γιά να πλακωθούν στις ανασκαφές! Θα σκάβανε μιά μεγάλη έκταση (ίση με μιά πόλη!) επί κάτι δεκαετίες… Χειρότερα από τον Κάρτερ, που κόντεψε ν’ αφήσει τη λαίδη Κανάρβεν – αγγλίτσικη προφορά!  🙂  – ταπί καί ψύχραιμη, μέχρι να βρεί τον τάφο του Τουτανγχαμών!]

Τέλος πάντων, προχωράμε.

Κι όσο γιά τις κλασματοδιατάξεις…

…«Ουδέν καινόν» υπό …τον Ήλιον!  🙂

 

ε. Χετταίοι – το δεύτερο «κλειδί»

Λιγάκι ανατολικώτερα από το μικρό πεντάγωνο (αλλά καί μέσα σ’ αυτό!), ήκμασε η αυτοκρατορία των Χετταίων.

Ελληνάρες κι αυτοί, Πελασγικό φύλο… σύμμαχοι των Τρώων στον Τρωϊκό (αν καί δεν φαίνεται να βοήθησαν πολύ), πότε αντίπαλοι καί πότε σύμμαχοι με τους Αιγύπτιους, κάνανε καί κάτι πριγκηπικές παντρειές μεταξύ τους (με τους Αιγύπτιους) καί ειρήνευσαν οριστικώς… Γενικώς, πολύ ενδιαφέρουσα η ιστορία τους. Η πρωτεύουσά τους, η Χαττούσα, βρισκόταν κάτι λίγα χιλιόμετρα μακριά απ’ την σημερινή πρωτεύουσα της Τουρκιάς, την Άνκαρα!

Τη γραπτή γλώσσα τους την ξαναδιάβασε στον 20ο αιώνα ο Τσέχος φιλολογοπροφέσσωρ Μπέντριχ (δηλ. Φρειδερίκος, στα Τσέχικα) Χρόζνυ. Ο οποίος παρατήρησε την ομοιότητά της με τα Λατινικά (έμ, βέβαια! απόλυτα λογικό! – τα Λατινικά είναι η μία από τις δύο αμέσους απογόνους της Πελασγικής διαλέκτου – η άλλη είναι η αρχαία Ελληνική)… κι έβγαλε νόημα από το σύνολο των βασιλικών αρχείων της πρωτεύουσας Χαττούσας! (Υπάρχει μεταφρασμένη πολύ ενδιαφέρουσα επιστολογραφία… με -ασυνήθιστες γιά ανακτορικές επιστολές- λυρικές εκφράσεις, μπορώ να σου πω!)

Η αυτοκρατορία τους στην ακμή της, καμιά οχτακοσάρα χρόνια μετά την πτώση της Τροίας, εμφανίζεται εδώ:

 

 

Βλέπουμε, λοιπόν, ότι οι Χετταίοι κατείχαν την περιοχή μιάς κορυφής του μεγάλου πενταγώνου, με τους Αιγύπτιους να κατέχουν μιά άλλη (πυραμίδα Χέοπα)!

Αρχίζετε να το πιάνετε το νόημα, προς τί οι παντρειές καί τα κουφέτα ανάμεσα σε δυό τόσο μακρυνές μεταξύ τους αυτοκρατορίες;  🙂

 

Οι Χετταίοι, εκτός απ’ τα αρχεία τους, άφησαν καί αρκετά καλλιτεχνήματα. Ίσως το χαρακτηριστικώτερο απ’ αυτά να είναι η Πύλη των Λεόντων, στην πρωτεύουσά τους…

 

 

…καί είναι ακριβώς αυτό, που μ’ έβαλε σε σκέψεις καί μου έδωσε τη λύση, προς τί το πεντάγωνο!

Λιοντάρια ίσον Ήλιος! Κι άμα συνδυάσεις με πύλη… βγαίνει νόημα καραμπινάτο! (Καί σιγά μην είχαν ποτέ λιοντάρια στην κεντρική Μ. Ασία!)

«- Μά, ρέ Εργοδότη, έχουν κι οι Μυκήνες τέτοια πράματα!»

Ακριβώς! Καί με την ίδια ακριβώς σημασία: Η πύλη προς τον Ήλιο, που περνάνε οι σημαίνοντες νεκροί! (Οι Μυκήνες δεν ήταν πόλη· ήταν το επίσημο νεκροταφείο, η νεκρόπολη του Άργους, γιά άρχοντες καί αρχιερείς.)

Όμως, είναι ακριβώς τα λιοντάρια της Χαττούσας (όχι των Μυκηνών), που μου δώσανε τη λύση· λόγωι εγγύτητας με το πεντάγωνο. (Θα πούμε παρακάτω, τί ρόλο έπαιξε η εγγύτητα.)

 

(επόμενο)